Κύκλος του Φορντ

Κύκλοι του Φορντ για p/q με q από 1 έως 20. Κύκλους με q ≤ 10 χαρακτηρίζονται ως p/q και με χρωματική κωδικοποίηση σύμφωνα με q. Κάθε κύκλος εφάπτεται στη γραμμή βάσης και στους γειτονικούς του κύκλους. Τα ανάγωγα κλάσματα με τον ίδιο παρονομαστή έχουν κύκλους του ίδιου μεγέθους.

Στα μαθηματικά, ο κύκλος του Φορντ είναι ένας κύκλος που βρίσκεται στο ευκλείδειο επίπεδο και ανήκει σε μια οικογένεια από κύκλους που όλοι εφάπτονται στον άξονα $x$ σε ρητά σημεία. Για κάθε ρητό αριθμό $p/q$, εκφρασμένο με τους μικρότερους όρους, υπάρχει ένας κύκλος του Φορντ του οποίου το κέντρο βρίσκεται στο σημείο $(p/q,1/(2q^{2}))$ και του οποίου η ακτίνα είναι $1/(2q^{2})$. Εφάπτεται με τον άξονα $x$ στο χαμηλότερο σημείο του, $(p/q,0)$. Οι δύο κύκλοι του Φορντ για τους ρητούς αριθμούς $p/q$ και $r/s$ (και οι δύο στο χαμηλότερο σημείο) είναι εφαπτόμενοι κύκλοι όταν $|ps-qr|=1$, διαφορετικά οι δύο αυτοί κύκλοι είναι ασύνδετοι.

Ιστορία

Οι κύκλοι του Φορντ είναι μια ειδική περίπτωση αμοιβαία εφαπτόμενων κύκλων - ο άξονας των $x$ μπορεί να θεωρηθεί ως ένας κύκλος με άπειρη ακτίνα. Τα συστήματα των αμοιβαία εφαπτόμενων κύκλων μελετήθηκαν από τον Απολλώνιο τον Περγαίο, από τον οποίο πήρε το όνομά του το πρόβλημα του Απολλώνιου και το Απολλώνιο gasket. τον 17ο αιώνα ο Ρενέ Ντεκάρτ ανακάλυψε το θεώρημα του Ντεκάρτ, μια σχέση μεταξύ των αντίστροφων των ακτίνων των αμοιβαία εφαπτόμενων κύκλων.

Οι κύκλοι του Φορντ εμφανίζονται επίσης στα Sangaku (γεωμετρικοί γρίφοι) των ιαπωνικών μαθηματικών. Ένα τυπικό πρόβλημα, το οποίο παρουσιάζεται σε μια πινακίδα του 1824 στο νομό Γκούνμα, καλύπτει τη σχέση τριών κύκλων που εφάπτονται με κοινή εφαπτομένη. Δεδομένου του μεγέθους των δύο εξωτερικών μεγάλων κύκλων, ποιο είναι το μέγεθος του μικρού κύκλου μεταξύ τους; Η απάντηση είναι αντίστοιχη με έναν κύκλο του Φορντ:

${\frac {1}{\sqrt {r_{\text{middle}}}}}={\frac {1}{\sqrt {r_{\text{left}}}}}+{\frac {1}{\sqrt {r_{\text{right}}}}}.$

Οι κύκλοι του Φορντ πήραν το όνομά τους από τον Αμερικανό μαθηματικό Λέστερ Ρ. Φορντ, ο οποίος έγραψε γι' αυτό το ζήτημα το 1938.

Ιδιότητες

Ο κύκλος του Φορντ που σχετίζεται με το κλάσμα $p/q$ συμβολίζεται με $C[p/q]$ ή $C[p,q].$ Υπάρχει ένας κύκλος του Φορντ που σχετίζεται με κάθε ρητό αριθμό. Επιπλέον, η ευθεία $y=1$ λογίζεται ως κύκλος του Φορντ - μπορεί να θεωρηθεί ως ο κύκλος του Φορντ που σχετίζεται με το άπειρο, που είναι η περίπτωση $p=1,q=0$.

Δύο διαφορετικοί κύκλοι του Φορντ είναι είτε ασύνδετοι είτε εφαπτόμενοι μεταξύ τους. Κανένα εσωτερικό δύο κύκλων του Φορντ δεν τέμνεται, παρόλο που υπάρχει ένας κύκλος του Φορντ εφαπτόμενος στον άξονα x σε κάθε σημείο του με ρητές συντεταγμένες. Εάν $p/q$ είναι μεταξύ 0 και 1, οι κύκλοι του Φορντ που εφάπτονται στο $C[p/q]$ μπορούν να περιγραφούν ποικιλοτρόπως ως εξής

1. οι κύκλοι $C[r/s]$ όταν $|ps-qr|=1,$
2. οι κύκλοι που σχετίζονται με τα κλάσματα $r/s$ που βρίσκονται δίπλα στο $p/q$ σε κάποια ακολουθία Φάρεϊ, ή
3. οι κύκλοι $C[r/s]$ όπου $r/s$ είναι ο επόμενος μεγαλύτερος ή ο επόμενος μικρότερος πρόγονος του $p/q$ στο δέντρο Stern-Brocot ή όπου $p/q$ είναι ο επόμενος μεγαλύτερος ή ο επόμενος μικρότερος πρόγονος του $r/s$.

Αν $C[p/q]$ και $C[r/s]$ είναι δύο εφαπτόμενοι κύκλοι του Φορντ, τότε ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία $(p/q,0)$ και $(r/s,0)$ (οι $x$-συντεταγμένες των κέντρων των κύκλων του Φορντ) και που είναι κάθετος στον άξονα $x$ (του οποίου το κέντρο βρίσκεται στον άξονα $x$) διέρχεται επίσης από το σημείο όπου οι δύο κύκλοι εφάπτονται μεταξύ τους.

Τα κέντρα των κύκλων του Φορντ αποτελούν ένα διακριτό (και συνεπώς μετρήσιμο) υποσύνολο του επιπέδου, του οποίου το κλείσιμο είναι ο πραγματικός άξονας - ένα μη μετρήσιμο σύνολο.

Οι κύκλοι του Φορντ μπορούν επίσης να θεωρηθούν ως καμπύλες στο μιγαδικό επίπεδο. Η σπονδυλωτή ομάδα μετασχηματισμών του μιγαδικού επιπέδου απεικονίζει τους κύκλους του Φορντ σε άλλους κύκλους του Φορντ.

Οι κύκλοι του Φορντ είναι ένα υποσύνολο των κύκλων του Απολλώνιου gasket που δημιουργούνται από τις γραμμές $y=0$ and $y=1$ και τον κύκλο $C[0/1].$

Ερμηνεύοντας το άνω μισό του μιγαδικού επιπέδου ως μοντέλο του υπερβολικού επιπέδου (το μοντέλο του ημιεπιπέδου του Πουανκαρέ), οι κύκλοι του Φορντ μπορούν να ερμηνευθούν ως ορόκυκλοι. Στην υπερβολική γεωμετρία δύο ορόκυκλοι είναι σύμφωνοι. Όταν αυτοί οι οριζόντιοι κύκλοι περιγράφονται από απιρόγωνα, πλακώνουν το υπερβολικό επίπεδο με ένα απιρόγειο πλακίδιο τάξης 3.

Συνολικό εμβαδόν κύκλων του Φορντ

Υπάρχει σύνδεση μεταξύ του εμβαδού των κύκλων του Φορν, της συνάρτησης του Όιλερ $\varphi$, της συνάρτησης ζ του Ρίμαν και της σταθεράς $\zeta (3)$ του Απερί. Καθώς δεν τέμνονται δύο κύκλοι του Φορν, προκύπτει αμέσως ότι το συνολικό εμβαδόν των κύκλων του Φορντ

$\left\{C[p,q]:0<{\frac {p}{q}}\leq 1\right\}$,

είναι μικρότερο από 1. Στην πραγματικότητα, το συνολικό εμβαδόν αυτών των κύκλων του Φορντ δίνεται από ένα συγκλίνον άθροισμα, το οποίο μπορεί να υπολογιστεί. Από τον ορισμό, το εμβαδόν είναι

$\mathrm {E} =\sum _{q\geq 1}\sum _{(p,q)=1 \atop 1\leq p<q}\pi \left({\frac {1}{2q^{2}}}\right)^{2}$.

Απλοποιώντας την εξίσωση αυτή προκύπτει

$A={\frac {\pi }{4}}\sum _{q\geq 1}{\frac {1}{q^{4}}}\sum _{(p,q)=1 \atop 1\leq p<q}1={\frac {\pi }{4}}\sum _{q\geq 1}{\frac {\varphi (q)}{q^{4}}}={\frac {\pi }{4}}{\frac {\zeta (3)}{\zeta (4)}},$

όπου η τελευταία ισότητα αντικατοπτρίζει τη γεννήτρια συνάρτηση Ντίριχλετ για τη συνάρτηση του Όιλερ $\varphi (q).$ Δεδομένου ότι $\zeta (4)=\pi ^{4}/90,$ αυτό τελικά γίνεται

$A={\frac {45}{2}}{\frac {\zeta (3)}{\pi ^{3}}}\approx 0.872284041.$

Σημειώστε ότι βάσει σύμβασης, οι προηγούμενοι υπολογισμοί απέκλεισαν τον κύκλο ακτίνας ${\frac {1}{2}}$ που αντιστοιχεί στο κλάσμα ${\frac {0}{1}}$. Περιλαμβάνει τον πλήρη κύκλο για το ${\frac {1}{1}}$, το μισό του οποίου βρίσκεται εκτός του μοναδιαίου διαστήματος, επομένως το άθροισμα εξακολουθεί να είναι το κλάσμα του μοναδιαίου τετραγώνου που καλύπτεται από κύκλους του Φορντ.

Σφαίρες του Φορντ (3 Διαστάσεις)

Σφαίρες του Φορντ στον μιγαδικό χώρο.

Η έννοια των κύκλων του Φορντ μπορεί να γενικευτεί από τους ρητούς αριθμούς στους ρητούς του Γκάους, δημιουργώντας τις σφαίρες του Φορντ. Σε αυτή την κατασκευή, οι μιγαδικοί αριθμοί ενσωματώνονται ως επίπεδο σε έναν τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο, και για κάθε σημείο που είναι ρητός Γκάους σε αυτό το επίπεδο κατασκευάζεται μια σφαίρα που εφάπτεται στο επίπεδο στο σημείο αυτό. Για ένα σημείο που είναι ρητός Γκάους και γράφεται σαν το ανάγωγο κλάσμα $p/q$, η διάμετρος αυτής της σφαίρας θα πρέπει να είναι $1/2q{\bar {q}}$ όπου ${\bar {q}}$ αντιπροσωπεύει τον μιγαδικό συζυγή του $q$. Οι σφαίρες που προκύπτουν εφάπτονται για ζεύγη των ρητών του Γκάους $P/Q$ και $p/q$ με $|Pq-pQ|=1$, και διαφορετικά δεν τέμνονται μεταξύ τους.

Δείτε επίσης

• Απολλώνιο πρόβλημα
• Σύνολο Μάντελμπροτ
• Σύνολο Julia
• Οικοδομήσιμο Σύμπαν